• Anasayfa
  • Favorilere Ekle
  • Site Haritası
    • Bekir BENLİ
    • Tekirdağ Sosyal Bilimler Lisesi Matematik Öğretmeni
    • BEKİR BENLİ
    • Tekirdağ Sosyal Bilimler Lisesi Matematik Öğretmeni

Euclid Dışı Geometri

 

Euclid Dışı Geometri


  İki bin yılı aşkın bir süre boyunca "biricik geometri" kimliğini koruyan Euclid geometrisinden farklı geometrilerin ortaya çıkışı kolayca sindirilebilir bir gelişme olamazdı.  Nitekim, başlangıçta yarı şaşkınlıkla önemsenmeyen bu olay, yüzyılın son çeyreğinde sarsıcı etkisini duyurmaya başlar.  Matematikçiler'in içine düştükleri şaşkınlık, sonunda, filozofların da kolayca üstesinden gelemedikleri bir soruna dönüşmüştü.  Her biri kendi içinde tutarlı birden fazla geometri ne demekti?  Uzun bir geleneğin saygınlığını taşıyan, sayısız uygulama ve ölçmelerle doğruluğu kanıtlanan bir sistem kuşku konusu olabilir miydi?  Olamazsa, mantıksal tutarlılık yönünden eşdeğer yetkinlikte olan değişik geometrilerin varlığı nasıl açıklanmalıydı?

  Kant'a göre, geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometrik önermeler bu nedenle zorunlu doğrulardı.  Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclid geometrisiydi.  Oysa şimdi ne görüyoruz?  "Biricik" diye bilinen bu geometriye ait önermelerden bir ya da birkaçını yadsımak, çelişkiye yol açmak şöyle dursun, kendi içinde tutarlı geometrilere olanak veriyordu.  Euclid dışı geometrilerin ortaya çıkması, yüzyıllar boyunca oluşan kimi önyargı ve koşullanmaları kökten sarsmaktaydı.  Geometrik önermelerin apaçık ya da zorunlu sayılan doğrulukları bir yana, doğru olup olmadıkları, hatta "doğruluk" kavramının kendisi tartışma konusu olmaya başlamıştı.  Öte yandan, birbiriyle bağdaşmaz geometrilerin kendi içlerinde tutarlı olmaları, "tutarlılık" kavramını ön plana çeker; bu ise, matematiğin temellerine ilişkin sorunların çözüm arayışında mantığa büyük ağırlık kazandırır.   

  Biri analizde, diğeri geometride kendini açığa vuran bu iki tedirginlik, 19. yüzyılı bir bunalım dönemine dönüştürmüştü.  Gerçi, 18. yüzyılda olduğu gibi bu yüzyılda da matematiksel çalışmaların hem kuramsal, hem uygulama yönünden birbirini izleyen önemli atılımlar içinde olduğu söylenebilir.  Öyle ki, bu ikiyüz yıllık dönemi, matematik için büyük coğrafi keifler dönemine benzetenler vardır.  Denebilir ki, ilk kez bu dönemde, birtakım belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle  yüklü olduğu gözlenen matematiğin, aynmı zamanda, temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır.  Bunalımı aşma yolundaki çaba ve arayışların hemen hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktyız.  

  Matematiğin pekiştirilmesine yönelik bu çabada "mantıksal" diyebieceğimiz bir yaklaşımdan daha söz edebiliriz.  Richard Dedekind'in çalışmasında kendini gösteren bu yaklaışm, Peano, Frege ve Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha belirgin bir karakter kazanır.

  Daha çok gerçel sayılara ilişkin teorik çalışmasıyla tanınan Dedekind, diferansiyel ve integral hesapları aritmetik bir temele oturtmaya yönelir.  Mantıksal çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile önemli bir dönüm noktasına ulaşır.

  Mantıksal çzöümlemeye verdiği tüm öneme karşın, matematiğe ilişkin de olsa, mantıksal ya da felsefi sorunlar Dedekind'in ön planda tuttuğu sorunlar değildi.  Bu tür sorunlar, gene bir matematikçi olan İtalyan G.Peano'da önem kazanır.  Öyle ki, matematiğin temelleri giderek onun başlıca uğraş konusu olur.

  Peano da, Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerle üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin olma çabasındaydı.  Matematik'te sağduyu ile sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna karşıydı.  Hem sayı, hem fonksiyon kavramlarına, sezgisel anlamları ötesinde, daha kesin tanımlarla daha belirgin anlatımlar verilmeliydi.  Soyut matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem olmalıydı.  Euclid'in geometride gerçekleştirdiği aksiyomatik kuruluşu, Peano aritmetikte ve giderek analize gerçekleştirmeye koyulmuştu.  Ancak o, Euclid sisteminde bilinen kusur ve eksikliklerden sakınma çabasındaydı.  Ona göre, ne aksiyomlar zorunlu, apaçık doğrulardır; ne de ilkel terimler anlamları sezgisel  ya da tanımla belirlenebilecek nesnelerdir.  İlkel terimlerle onlara ilişkin özellikleri dile getiren aksiyomlar bir kez saptandıktan sonra geriye, teoremleri salt mantııksal yoldan çıkarsama kalır.  Peano bu amaçla sıradan dil yerine, kullanışılığı nedeniyle hemen benimsenen, simgesel bir dil önerir.  Aynı şekilde, çıkarımların önceden konmuş kesin mantıksal kurallar çerçevesinde tutulmasında ısrar eder.  Böylece onun öngördüğü sistem, belli dönüştürme kurallarıyla simgesel bir dile dayanan  soyut bir kuruluştur.  

  Matematiğin temellerini yoklama ve kurmaya yönelik girişimler 1890'lı yıllarda Frege, Peano, Poincare, Russell, Hilbert vb. düşünürlerin çalışmalarıyla ortaya çıkar.  Tartışmalar çok geçmeden, "mantıkçılık", "sezgicilik" ve "formalizm" adlarıyla bilinen üç öğreti çevresinde toplanır.  


Sınavlar Ödevler Ders Programı Duyurular Belirli Günler Atatürk ve matematik Euclid Dışı Geometri Goldbach sanıları Epiminedes paradoksları Kaç tane asal sayı var Fermat'ın Son Teoremi Paradoks nedir Rastlantılar Matematik ve felsefe Matematik nedir Milyon Dolarlık Sorular Matematik Nasıl Çalışılır Cahit Arf Sonsuzluğu Matematik Eğitiminde Bilişim Teknolojileri Çoklu Zeka Kuramı Nasıl Bir Matematik Eğitimi Mantıksal/Matematiksel Zeka Matematik ve ToplumTavlanın Matematiği/Olasılık NUTUK

Bekir benli bekir benli bekir benli bekir benli bekir benli bekir benli bekir benli bekir benli bekir benli Bekir benli bekir benli bekir benli bekir