• Anasayfa
  • Favorilere Ekle
  • Site Haritası
    • Bekir BENLİ
    • Tekirdağ Sosyal Bilimler Lisesi Matematik Öğretmeni
    • BEKİR BENLİ
    • Tekirdağ Sosyal Bilimler Lisesi Matematik Öğretmeni

Matematik ve Sonsuz



Matematik ve Sonsuz

Ülkemizde öğrenci ve hatta öğretmenlerin bir kısmı tarafından bile matematikteki sonsuzluk kavramının pek iyi bilinmediği  görülüyor.. Örneğin,birçok kişi,

Sonsuz eksi sonsuz,

Sonsuz bölü sonsuz

gibi işlemlerin yapılabileceğini sanıyor. Kimisi de “sonsuz eksi 1”in bir sayı olduğunu sanıyor, yani sonsuzdan hemen önce bir sayı olduğunu sanıyor.

“Sonsuz” dendiğinde, genellikle, çok uzakta, taa ötede, ulaşılamayacak bir yer düşünülür. Genel olarak, “sonsuz” sözcüğü bir yer adıymış gibi kullanılır. Kayseri gibi, Tekirdağ gibi, Fransa ya da Amerika gibi... Kayseri’yle  sonsuz arasındaki fark, sonsuz’a hiç ulaşılamamasıdır.

 Kimi zaman da, “sonsuz” dendiğinde çok büyük bir miktar akla gelir, sayılamayacak kadar büyük bir miktar... Bu ikinci anlam, “sonsuz”un matematiksel anlamına daha yakındır.

Günlük yaşamda kullanılan anlamda bir “sonsuz”un gerçekte (doğada, evrende, uzayda...) olup olmadığı ayrı bir tartışma konusudur. Belki de bu anlamda “sonsuz”, imgelemin bir ürünüdür ve doğada yoktur. Ama bizim konumuz, sonsuzun varlığı ya da yokluğu değil, tanımı. Biraz daha açalım: “Sonsuz”un ne demek olduğunu tanımlamak başkadır, “sonsuz”un var olduğunu ya da olmadığını kanıtlamak başka. Yani, kavramın tanımıyla varlığı bambaşka sorulardır.

.Yukarda, “sonsuz” sözcüğüne günlük yaşamda verdiğimiz anlamdan kısaca sözettim. Matematikte “sonsuz”un bambaşka bir anlamı vardır. Günlük yaşamda kullanılan “sonsuz”un tam ne demek olduğunu pek iyi bilmiyorsak da, matematikte “sonsuz” sözcüğünün kesin bir anlamı vardır.

Matematiğin “sonsuzluk” kavramı bir yüzyıl öncesine değin pek açık seçik bilinmiyordu. “Sonsuz” konusunda büyük bir kargaşa vardı. Kerli felli adamlar “sonsuz” kavramı üzerinde birbirleriyle anlaşamıyorlar, bu ayrılıktan dolayı birbirlerine küsüyorlardı. Kümeler kuramının gelişmesiyle birlikte (Georg Cantor sayesinde), matematikte “sonsuz”un ne anlama gelmesi gerektiği anlaşıldı.

 Matematikteki “sonsuz” kavramına açıklık getirilmesinin püf noktası şudur: “Sonlu”nun ne demek olduğunu anlarsak, “sonsuz”un da ne demek olduğunu anlarız, çünkü “sonsuz”, “sonlu”nun karşıtıdır, sonlu olmayana sonsuz deriz.Matematikte “sonsuz” bir sıfatdır,bir ad değildir. Nasıl “sonlu” bir sıfatsa matematikte kullanılan “sonsuz” da bir sıfatdır. Sonsuz, sonlunun karşıtıdır. Matematikte sonlu olmayana sonsuz denir.
Adına “sonsuz” denilen matematiksel bir nesne yoktur. Ama sonsuz matematiksel nesneler vardır.

Nasıl “sarı”, “lacivert”, “uzun”, “sıcak” birer sıfatsa, matematikteki “sonsuz” sözcüğü de bir sıfatdır.Matematikte, adı “sonlu” olan bir nesne olmadığı gibi, “sonsuz” diye de bir nesne de yoktur.Yineliyorum: Matematikte, “sonlu” ve “sonsuz” sözcükleri birer sıfatdırlar. Örneğin, “sonlu sayı” terimindeki “sonlu” sözcüğü “sayı” sözcüğünü niteler. Bunun gibi, “sonsuz sayı” terimindeki “sonsuz” sözcüğü “sayı”yı niteler.

Matematikte 5 bir nesnedir. 1 de bir nesnedir. Dolayısıyla 5’ten 1’i çıkarabiliriz ve 4 nesnesini buluruz.Ama “sonsuz”, bir nesne olmadığından, matematikte ∞ – 1 diye bir nesne yoktur ve ∞ – 1’in yazılmaması gerekir. Bir sıfatdan bir nesne çıkaramayız.

Bu kavram karışıklığının suçlusu öğrenciler değil, elbette... Öğrenci hiçbir zaman suçlu olamaz. Lise öğrencilerine, bugünkü eğitim sistemimizde, “sonsuz”un tam matematiksel anlamı anlatılamaz.
Eğitim sistemimizin olduğu kadar bu kavram karışıklığında biz matematikçilerin de suçu var. Matematikçiler, “sonsuz”u çoğu kez bir ad gibi kullanırlar. Örneğin, sanki sonsuz bir yer adıymış gibi, “n sonsuza gittiğinde” derler. Hatta görmüşsünüzdür, limn — ∞ yazarlar. Bu cümlecikte, “sonsuz” sanki bir yer adıymış gibi kullanılmış. Yanlış! Matematikte “sonsuz” diye bir yer yoktur.

Asıl suçlu ∞ simgesi. Ortaöğretimde, matematiksel simgeler genellikle nesneler için kullanılır. Boşküme bir nesnedir ve simgesi Ø‘dir örneğin. Oysa ∞ simgesi, bir nesnenin simgesi değildir.
Bu yüzden “n sonsuza gittiğinde” dememek gerekir. Onun yerine, “n durmadan büyüdüğunde, yani her tamsayıyı bir süre sonra aştığında” demek daha doğru olur.

Matematikçiler,

              Sonsuz eksi sonsuz, ∞ – ∞

              Sonsuz bölü sonsuz, ∞/∞

demez ve yazmazlar. Yazdıklarında da bunun ne demek olduğunu açıklamak zorundadırlar. Ama kimi zaman, matematikçi,

∞ + 1    = ∞

∞ – 1    = ∞

∞ + ∞  = ∞

∞ /2      = ∞

2 *∞    = ∞

yazabilir. Burada, matematikçinin söylemek istediği,

*           Sonsuz artı 1, sonsuza eşittir

*           Sonsuz eksi 1, sonsuza eşittir

*           Sonsuz artı sonsuz, sonsuza eşittir

*           Sonsuz bölü 2, sonsuza eşittir

*           İki kere sonsuz, sonsuza eşittir

değildir .

 

Matematikçi sırasıyla şunları söylemek istiyordur:

*           Durmadan büyüyen bir değişkenden 1 çıkarırsak, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür,

*           Durmadan büyüyen bir değişkene 1 eklersek, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür,

*           İki değişken durmadan büyüyorsa, o değişkenlerin toplamı da durmadan büyür,

*           Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiye bölersek, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz,

*           Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiyle çarparsak, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz.

Ta eski Yunanlılardan beri, matematikçiler ve filozoflar “sonsuz” ve “sonsuzluk” üzerine kafa yormuşlardır. Geçen yüzyılda, matematiğin sonsuzluk kavramını Alman matematikçi Georg Cantor biçimselleştirdi. Cantor’a göre sonsuz bir sıfattır. O gün bu gün, matematikçiler “sonsuz”u ad olarak değil, sıfat olarak kullanırlar.

Matematikte sonsuz bir nesnenin varlığı konusuna gelince…Matematikte sonsuz bir nesnenin varlığı (böyle bir nesnenin varlığını kabul eden bir belit/aksiyom olmadan) kanıtlanamaz. Öte yandan matematikçiler “sonsuz” nesnelerden sözedebilmek isterler. Matematikçi sonlu nesnelerle baktığında, kimi zaman sonsuzu görür gibi olur, yani “sonsuz,” sonlunun arasından kendini gösterir, kendini belli eder. Dolayısıyla matematikçi sonsuz nesnelerin varlığını kanıtlayamasa da, sonsuz nesnelerden sözedebilmek ister. Bir örnek verelim.

0, 1, 2, 3, 4 gibi doğal sayılar sonlu matematiksel nesnelerdir (yani kümelerdir.) Peki, ya bu doğal sayılardan oluşan nesne? Yani

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

nesnesi? Bu nesnenin sonsuz olduğunu (yani sonsuz tane öğe içerdiğini) biliyoruz. Biliyoruz ama, matematikte böyle bir nesne var mıdır? Yani bu nesne, matematikte sözünü edebileceğimiz bir küme midir?
Bu nesnenin bir küme olduğu “sonlu matematikte” kanıtlanamaz.
Madem varlığını kanıtlayamıyoruz ama öyle bir nesnenin bir küme olmasını istiyoruz, biz de matematikte böyle bir kümenin olduğunu varsayarız, yani bu nesneyi küme yapacak bir beliti (aksiyomu) matematiğe sokarız... Böylece, matematikte sonsuz bir küme belirir... Daha önce yoktu, bir belitle var ettik!Ve bu beliti kullanarak matematikte sonsuz bir nesnenin varlığını kanıtlamış oluruz.