• Anasayfa
  • Favorilere Ekle
  • Site Haritası
    • Bekir BENLİ
    • Tekirdağ Sosyal Bilimler Lisesi Matematik Öğretmeni
    • BEKİR BENLİ
    • Tekirdağ Sosyal Bilimler Lisesi Matematik Öğretmeni

Rastlantılar

 

RASTLANTILARIN ŞAŞIRTICI BENZERLİĞİ
Rastlantılar insanların her zaman ilgisini çekmiştir. Raslantıların şaşırtıcı benzerliğini görmek için şu örneği inceleyelim:  Bir yılda 366 gün olduğuna göre (şubatı 29 gün sayıyoruz), bir grupta doğum günleri aynı olan en az iki kişinin bulunduğundan emin olabilmemiz için, o grubun 367 kişiden oluşması gerekir. Niçin?

Ya bundan % 50 emin olmakla yetinseydik? Bir grupta aynı gün doğmuş iki kişinin bulunma olasılığının yukarıdakinin yarısı kadar olabilmesi için, grubun kaç kişiden oluşması gerekir?İlk tahmininiz, 365’in yaklaşık yarısı olan 183 olabilir. Oysa sürpriz yanıt, grubun sadece 23 kişiden oluşması gerektiğidir. Başka bir deyişle, rasgele seçilen 23 kişi içinde, % 50 olasılıkla, iki ya da daha fazla kişi aynı doğum gününü paylaşacaktır. Buna inanmakta zorlananlar için, aşağıda bu sonucun nasıl elde edildiğini kısaca gösterelim:

Çarpım prensibine göre, beş tarihi seçebilmek için (365x365x365x365x365=3655) yol vardır (tekrara izin verilmesi koşuluyla). Fakat 3655 yolla seçilen bu günlerin çakışmaması, ancak şu şekilde mümkündür: (365x364x363x362x361).Bu son çarpımı (365x364x363x362x361)’i  3655 ‘e bölersek, rastgele seçilen 5 kişiden hiçbirinin doğum günleri aynı olmayacaktır. Şimdi bu olasılığı 1’den (ya da eğer yüzde hesabı yapıyorsak % 100’den) çıkardığımızda, 5 kişiden en az ikisinin doğum günlerinin aynı olduğu, tamamlayıcı olasılığı elde ederiz. 5 yerine 23 kullanarak yapacağımız benzeri bir hesap, 1/2 ya da % 50 sonucunu verir. O halde, 23 kişiden en az ikisinin ortak doğum gününe sahip olma olasılığı sözkonusudur.

Birkaç yıl önce bir televizyon şovundaki konuklardan biri bunu açıklamaya çalışmıştı. Sunucu ona inanmadı. Stüdyoda 120 izleyici bulunduğunu söyleyerek, kaç kişinin doğum gününün kendisiyle aynı olduğunu sordu. (onunki 19 Mart’tı.) Stüdyoda onunla aynı doğum gün doğmuş kimse yoktu.  Bunun nedeni, herhangi bir ortak doğum gününün bulunmasının  % 50 kesinlik kazanması için gerçekten de en az 23 kişi bulunması gerektiği, fakat bu durumun, belli bir doğum günü, örneğin 19 Mart için geçerli olmadığıydı. 19 Mart gibi belli bir günün, gruptan birinin doğum günü olduğundan % 50 emin olmak için, daha büyük bir grup, tam sayı vermek gerekirse 253 kişi gerekir. Bunun ispatı ise şöyledir:

Gruptan birinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı 364/365 olduğuna ve doğum günleri birbirinden bağımsız olduğuna göre, iki kişinin doğum günlerinin 19 Mart olmama olasılığı  (364/365)x(364/365) ‘tir. Yani N kişinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı (364/365)N ‘dir.  N=253 olduğunda, bu sonuç yaklaşık 1/2’ye eşit olur. Büylece 253 kişiden en az birinin 19 Mart’ta doğmuş olma tamamlayıcı olasılığı da 1/2 ya da % 50 ‘dir.

Bundan çıkarılacak sonuç, gerçekleşme olasılığı düşük bir olayın olasılığının, belirli bir olayın gerçekleşme olasılığından çok daha yüksek olduğudur.

Matematik yazarı Martin Gardner, genel olaylarla belirli olaylar arasındaki farkı, üstünde alfabenin yirmialtı harfinin bulunduğu bir çarka benzeterek açıklar. Çark yüz kez döndürülüp, çıkan harfler kaydedilirse, "KEDİ" ya da "SICAK" sözcüklerinin ortaya çıkma olasılığı çok düşükken, herhangi bir sözcüğün ortaya çıkma olasılığı yüksektir.

Sonuçtaki paradoks, düşük olasılığa sahip olayların gerçekleşmeme olasılığının çok düşük olmasıdır. Öngörülen olayı kesin olarak belirlememeniz halinde, bu genel olayın gerçekleşmesi için sayısız yol vardır.  Çok ender gerçekleşen öngörüler sadece belirli olanlardır.