• Anasayfa
  • Favorilere Ekle
  • Site Haritası
    • Bekir BENLİ
    • Tekirdağ Sosyal Bilimler Lisesi Matematik Öğretmeni
    • BEKİR BENLİ
    • Tekirdağ Sosyal Bilimler Lisesi Matematik Öğretmeni

Goldbach sanıları

 

Goldbach sanısı 1


  Christian Goldbach, 1742’de Euler’e gönderdiği mektupta sayılarla ilgili çalışmaları sonucu şu sonuca ulaştığını söyler; “6’dan büyük her tamsayı, 3 asal sayının toplamı olarak yazılabiliyor.”  Goldbach, ulaştığı sonucu ispatlayamadığını da söyler ve Euler’den yardım ister.  Euler, Goldbach’a yazdığı cevapta kendisinin de bu varsayımı ispatlayamadığını ama eğer bu varsayım doğruysa 2’den büyük çift sayıların da 2 asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceği sonucuna vardığını söyler.  Böylece ünlü Goldbach sanısı ortaya çıkmış olur.

  “2’den büyük her çift sayı en az 2 asal sayının toplamı olarak yazılabilir.”

  Bu sonuca, Goldbach’ın yazdığı mektuptan yola çıkarak Euler ulaşmıştır ama konunun çıkış noktası dikkate alınarak matematiğe, Goldbach sanısı olarak geçmiştir.  Goldbach’ın mektubunda sözünü ettiği ilk varsayımı ise 3 asal problemi ya da ikinci Goldbach sanısı olarak bilinir.  3 asal problemi, bir sonraki bölümde ele alınmıştır.

  Goldbach sanısı, 350 yılı aşkın süredir ispatlanmayı bekleyen bir matematik problemi olarak gözükmektedir.  Matematikte, çözüm bekleyen üç büyük problemden birisidir.  Diğer ikisi, Fermat’ın Son Teoremi ve Riemann Hipotezi’dir.  Halen, bu üç problem ispatlarına kavuşmuş değillerdir.

  Goldbach sanısını ispatşamaya yönelik çok öenmli çalışmalar yapılmıştır.  20. yüzyıla kadar olan çalışmalar, özellikle asal sayılar teorisinin geliştirilmesinde çok önemli rol oynamıştır ve asal sayılara olan ilginin artmasına sebep olmuştur.  Goldbach sanısı, birçok önemli matematikçinin neredeyse ömürlerini harcadıkları bir çalışma haline gelmiştir.  Birçoğu, tarihe geçebilmek için Goldbach sanısını ispatlamaya çalışmışlardır.  Şüphesiz, yukarıda sözü edildiği gibi, bu çalışmaların çok önemli yararlar sağladığı açıktır.

  Goldbach sanısı tam olarak ne demek istiyor? Biraz bu konudan bahsedelim.Goldbach sanısına göre, 2’den büyük her çift sayı en az 2 asal sayının toplamı olarak yazılabilir.  Bilindiği gibi asal sayılar, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır ve en küçük asal sayı 2 olarak kabul edilmiştir.  Bir sayının asal olup olmadığı, kendisinden küçük asal sayılara bölünerek bulunabilir.  Eğer hiç asal çarpanı yoksa, sayı asaldır.  Aşağıdaki tablo, 52'e kadar olan çift sayıların, hangi 2 asal sayının toplamı olduklarını gösteriyor.

6 = 3 + 3  

8 = 3 + 5  

10 = 3 + 7  

12 = 5 + 7  

14 = 3 + 11  

16 = 3 + 13  

18 = 5 + 13  

20 = 3 + 17  

22 = 3 + 19  

24 = 5 + 19  

26 = 3 + 23  

28 = 5 + 23  

30 = 7 + 23  

32 = 3 + 29

34 = 3 + 31  

36 = 5 + 31  

38 = 7 + 31  

40 = 3 + 37  

42 = 5 + 37  

44 = 3 + 41  

46 = 3 + 43  

48 = 5 + 43  

50 = 3 + 47  

52 = 5 + 47  

 

  Yukarıdaki tabloyu, daha büyük çift sayılara kadar ilerletmek mümkün.  Matematikçiler, bilgisayar teknolojisini kullanmaya başlamadıkları dönemde, Goldbach sanısına ilişkin yukarıdakine benzer tablolar yapıyorlardı.  Onbinler basamağını içeren tablolar çok uzun yıllar önce yapılmıştı.  Bütün kontroller, sanının doğru olduğunu gösteriyor ama matematiksel ispatı yapılamıyordu.  Bu arada, yukarıdaki tabloyla ilgili önemli bir noktayı unutmayalım.  Tabloda, her çift sayı için, yalnızca 2 asal sayı toplamı gösterilmiş.  Ancak Goldbach sanısı, en az 2 asal sayıdan bahsediyor.  Yani bazı çift sayılar, 1’den çok asal çiftinin toplamı olabilirler aşağıdaki örneklerde olduğu gibi:

10 =  5+5   =  3+3

14 =  7+7   =  5+9

18 =  7+11 =  5+13

  Yukarıdaki örnekleri çoğaltırsak ve çok büyük sayılara kadar her çift sayı için tüm asal çiftleri bulursak, çift sayı büyüdükçe, asal sayı çiftlerinin sayısı da artabilir.  Bu, genel bir kural değildir.  Örneğin, 10 sayısı için 2 asal sayı çifti gözükürken, 12 sayısını veren yalnızca bir asal sayı çifti vardır.  Ama, sayı büyüdükçe ortalama asal sayı çifti sayısı da artar.

  Goldbach sanısıyla ilgili çalışmalar sırasında matematikçiler, çeşitli tablolar hazırlayarak, Goldbach asal çiftlerinin özelliklerini anlamaya çalışmışlardır.  Yukarıda bahsedilen, bazı çift sayıların birden çok asal çifte sahip olduğuydu.  Örneğin 18 sayısı, hem 5+13’e hem de 7+11’e eşittir.  Yani 14 sayısı için 2 farklı asal çifti vardır.  Bu asal sayı çiftlerinden en küçük asalı içeren, yani aradaki farkı büyük olan asal çifti, asıl asal çift olarak kabul edilir.  Yani, 5 ve 13 aradaki fark açısından, 7 ve 11’e göre daha büyük olduğundan 14 sayısının asıl asal çiftidir.  Asıl asal çiftler kullanılarak hazırlanan ve küçük asalın asıl sayıya oranını veren bir tablo aşağıda sunulmuştur.  

n

g(n)

n - g(n)

g(n)/n

6

3

3

0.500000000

12

5

7

0.416666667  

30

7

23

0.233333333  

98

19

79

0.193877551

220

23

197

0.104545455  

308

31

277

0.100649351

556

47

509

0.084532374

992

73

919

0.073588710  

2642

103

2539

0.038985617  

5372

139

5233

0.025874907  

7426

173

7253

0.023296526

 

  Yukarıdaki tabloda n; asal toplamları bulunan çift sayı, g(n); asıl asal çiftin küçük asalı,      n-g(n) ise asıl asal çiftin büyük asalıdır.  Tablonun son sütunu, küçük asalın asıl sayıya oranını vermektedir.  Tablodan anlaşılacağı gibi, bu oran, sayı büyüdükçe küçülmektedir. 

  Goldbach sanısının ispatı için yapılan çalışmalardan, asal sayı çiftlerinin bazı özellikleri ortaya çıkartılabilmiştir.  Yukarıdaki tablolar, Goldbach asal sayı çiftleri hakkında az da olsa bazı bilgiler edinmemizi sağlıyor. 

  Bazı matematikçilerin adları Goldbach sanısının ispatı ile anılır.  Hiç kuşku yok ki bunların aşında Yunan matematikçi Petros Papachritos gelmektedir.  Yaşamı boyunca Goldbach’ın ispatı için uğraşmış ve ölmeden birkaç dakika önce yeğenine ispatı bulduğunu telefonda söylemiştir.  Ama, ispatı bulmuş olsa da, ispatı da ölümüyle, yanında götürmüştür.  Matematiksel olarak yapılan en önemli çalışma, Çin’li matematikçi Chen Jin Run tarafından yapılmıştır.  Chen Jin Run, 1966’da, yeterince büyük çift sayıların, bir asal sayı ve 2’den çok  asal çarpanı olmayan bir sayının toplamı olarak yazılabileceğini ispatladı.  Bu ispatla Chen Jin Run, Goldbach sanısının ispatına en çok yaklaşan matematikçi olmuştur.

  Goldbach sanısının ispatı yapılamamıştır ama şunu da unutmamak gerekir ki Goldbach’ın varsayımının doğru olmama ihtimali de vardır.  Bu ihtimal de dikkate alınarak, son yıllarda bilgisayar programları yardımıyla, çok büyük sayılar için Goldbach asal çiftleri bulunuyor.  Yani programın giebildiği son çift sayıya kadar her çift sayının 2 asal toplamı olup olmadığı kontrol ediliyor ve hangi asal toplamlara sahip olduğu kaydediliyor.  Son bilgilere göre, 5*10ü15 sayısına kadar olan tüm çift sayılar kontrol edildi ve Goldbach sanısını çürüten bir sayı bulunamadı.  Sözedilen kontrol yapılırken, programın niteliği ve bilgisayarın çalışma süresini de özellikle vurgulamalıyız.  Bilgisayar programı, söz edilen sayıya kadar olan çift sayıları 3 haftada kontrol etti.  Yukarıdaki sayıdan büyük sayılar kontrol edilmeyi bekliyor.  Tabii, bu kontrolün sınırı, bilgisayar programlama tekniklerinin gelişimiyle doğru orantılı olarak genişleyecek.  

 

Goldbach sanısı 2


  Christian Goldbach, ünlü varsayımını “2’den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir.”  ortaya attığında, asal sayılarla ilgili çok önemli bazı ara sonuçlara ulaşmış durumdaydı.  Bunlardan biri de, Goldbach sanısının bir benzeri olan varsayımıdır.  Bu varsayım; “5’den büyük her tek sayı üç asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir” şeklinde kayıtlara geçmiştir.  Bu varsayım, Golbach’ın 3 asal problemi olarak bilinir.  3 asal problemi, Goldbach sanısı kadar önemli olmakla birlikte, onun kadar ünlü değildir.  Bunun sebebi, 3 asal probleminin çıkış noktasının Goldbach sanısı olmasıdır.  Bununla birlikte, 3 asal probleminin çözümüne ilişkin önemli çalışmalar 20. Yüzyılın başlarına kadar yapılmış ve çok önemli sonuçlar elde edilmiştir.

  20.yüzyılın önemli matematikçilerinden Hardy ve Littlewood, bu konu üzerinde çalışmışlar ve 1923 yılında, 3 asal probleminin, yeteri kadar büyük tamsayılar için, Riemann hipotezi ile örtüştüğünü göstermişlerdir.  1937 yılında, Vinogradov, Riemann hipotezine dayanarak, 3 asal probleminin yeteri kadar büyük tek tamsayılar için doğru olduğunu ispatlamıştır.  Ancak, yeteri kadar büyük tek tamsayının büyüklüğü konusunda bir şey söylememiştir. Vinogradov’dan sonra 3 asal probleminin ispatı kısmen yapılmış olduğundan ve Goldbach sanısının ispatı durumunda zaten 3 asal probleminin de ispatına ulaşılmış olunacağından dolayı, bu konu üzerinde çok ciddi çalışmalar yapılmamaıştır.

  Sonuç olarak, 3 asal probeminin ispatının, Goldbach sanısının ispatına ve Riemann hipotezinin ispatına bağlı olduğu unutulmamalıdır.  Çünkü Vinogradov, 3 asal probleminin ispatını yaparken, Riemann hipotezinin doğru olduğunu varsayıyordu.  Şu da unutulmamalıdır ki, Riemann hipotezi, benzeri diğer iki varsayım olan Goldbach sanısı ve Fermat'ın son Teoremi ile birlikte ispatları henüz yapılmamış olsa da matematik dünyası tarafından doğrulukları kabul edilmektedir.